자연수 n에 대하여 곡선 y = 2x 위의 두 점 An, Bn이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 AnBn의 기울기는 3이다.
(나) AnBn = n × √10
중심이 직선 y = x 위에 있고 두 점 An, Bn을 지나는 원이 곡선 y = log2x와 만나는 두 점의 x좌표 중 큰 값을 xn이라 하자.
x1 + x2 + x3 의 값은?
기울기가 3이라는 건, A에서 B로 갈 때 x가 1 늘면 y가 3 느는 방향이라는 뜻이야.
그런데 거리도 n√10으로 정해져 있어. 그러면 A에서 B까지의 이동량을 (Δx, Δy)로 놓고 두 조건을 동시에 만족시키는 값을 찾아봐.
직접 확인해봐!
An이 y = 2x 위의 점이니까 An(an, 2an)으로 놓을 수 있어.
힌트 1에서 구한 이동량을 쓰면 Bn의 좌표도 자동으로 나와.
Bn의 y좌표를 y = 2x에 대입하면:
2an + 3n = 2an+n
여기서 오른쪽을 2an × 2n으로 바꾸면, 2an에 대한 일차방정식이 돼!
이 문제의 진짜 핵심이야.
y = 2x와 y = log2x는 서로 역함수야. 그래프로 보면 y = x에 대해 대칭이지.
그런데 원의 중심이 바로 그 y = x 위에 있어!
점 (a, b)를 y = x에 대해 대칭이동하면 → (b, a)
An과 Bn을 대칭이동한 두 점의 x좌표를 각각 구해봐. 둘 중 큰 값이 xn이야.
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.
기울기 3, 거리 n√10 → Δx = n, Δy = 3n
An(an, 2an)이면
2an(2n − 1) = 3n
∴ 2an = 3n / (2n − 1)
y = x 대칭이동: (a, b) → (b, a)
Bn의 대칭점 x좌표가 더 크므로:
x₂ = 3·2·4/(4−1) = 8
x₃ = 3·3·8/(8−1) = 72/7
x₁ + x₂ + x₃ = 42/7 + 56/7 + 72/7 = 170/7
🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것
① 역함수 대칭: y = f(x)와 y = f⁻¹(x)는 y = x 대칭. 점 (a, b) ↔ (b, a)
② 원의 대칭: 중심이 대칭축 위 → 원 위의 점을 대칭이동해도 같은 원 위
③ 기울기+거리 분해: 직각삼각형으로 Δx, Δy를 분리하는 테크닉