그림과 같이 두 곡선 y = 2x−3 + 1과 y = 2x−1 − 2가 만나는 점을 A라 하자.
상수 k에 대하여 직선 y = −x + k가 두 곡선 y = 2x−3 + 1, y = 2x−1 − 2와 만나는 점을 각각 B, C라 할 때, 선분 BC의 길이는 √2이다.
삼각형 ABC의 넓이는?
(단, 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표보다 크다.)
두 곡선이 만나는 점 A에서는 y값이 같으니까:
2x−3 + 1 = 2x−1 − 2
여기서 2x−1 = 2x−3 × 2² 라는 걸 이용해봐. 2x−3을 하나의 문자 t로 놓으면 깔끔한 일차방정식이 돼!
두 곡선을 잘 비교해봐:
y = 2x−3 + 1 과 y = 2x−1 − 2
2x−1 = 2(x−3)+2 = 4 · 2x−3 이니까, 두 번째 곡선은 첫 번째 곡선을 x축 방향으로 −2, y축 방향으로 −3 평행이동한 것과 같아.
하지만 이 문제에서 더 중요한 건: 직선 y = −x + k의 기울기가 −1이라는 거야!
B와 C는 기울기 −1인 직선 위에 있고, 거리가 √2야.
기울기 −1이면 x가 1 증가할 때 y가 1 감소해. 그러면:
BC = √((Δx)² + (−Δx)²) = √(2) · |Δx| = √2
따라서 |Δx| = 1. B의 x좌표가 A보다 크고 C는 y = 2x−1−2 위의 점이므로…
세 점 A, B, C의 좌표를 다 구했다면, 삼각형 넓이를 구할 차례야.
BC를 밑변으로 잡으면, 높이는 점 A에서 직선 BC(= 직선 y = −x + k)까지의 거리야.
직선 x + y − k = 0과 점 A 사이의 거리를 구하고, 넓이 = ½ × BC × (거리)로 계산해봐!
점 B가 직선 y = −x + k 위에 있으니까, B의 좌표를 대입하면 k를 구할 수 있어.
힌트 3에서 a값을 구했다면 → B의 좌표 확정 → k 확정 → A와 직선 사이 거리 계산 가능!
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.
두 곡선의 교점이므로:
2x−3 + 1 = 4 · 2x−3 − 2
3 · 2x−3 = 3
2x−3 = 1 = 20
∴ x − 3 = 0, x = 3
x = 3을 대입: y = 20 + 1 = 2
B, C는 기울기 −1인 직선 위의 점이고 BC = √2이므로:
BC = √(1² + 1²) = √2 ✓
B의 x좌표를 a라 하면: B(a, 2a−3 + 1)
C는 B에서 x방향 −1, y방향 +1 이동: C(a−1, 2a−3 + 2)
C가 y = 2x−1 − 2 위에 있으므로:
2a−3 + 2 = 2 · 2a−3 − 2
2a−3 = 4 = 2²
∴ a − 3 = 2, a = 5
따라서 B(5, 5)이고, B가 직선 y = −x + k 위이므로:
점 A(3, 2)에서 직선 x + y − 10 = 0까지의 거리:
삼각형 ABC의 넓이:
🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것
① 지수법칙 통일: 2x−1 = 4 · 2x−3 처럼 같은 밑으로 통일하면 방정식이 단순해진다.
② 기울기와 거리 분해: 기울기 −1, 거리 √2 → Δx = ±1, Δy = ∓1 로 좌표 이동량 확정
③ 점과 직선 사이 거리: |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) 공식으로 높이를 구하는 전략