그림과 같이 상수 k (k > 3)에 대하여 직선 y = −x + 2k가 두 함수
f(x) = log2(x − k), g(x) = 2x+1 + k + 1
의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. AB = 7√2일 때, k의 값은?
직선 y = −x + 2k가 B(위쪽, g(x) 위)와 A(오른쪽, f(x) 위)에서 만남.
f(x) = log2(x − k)의 역함수를 구하면 지수함수가 나와.
y = log2(x − k) 라 하면, 로그의 정의에 의해 x − k = 2y이니까…
힌트 1에서 구하면: f−1(x) = 2x + k
그런데 g(x) = 2x+1 + k + 1 = 2·2x + k + 1… 이건 좀 복잡하네.
다른 관점으로 보자. 2x+1 = 2(x+1)이니까, g(x)는 f−1(x)를 x축 방향으로 −1, y축 방향으로 +1 평행이동한 것이야!
g(x) = 2(x+1) + k + 1 = f−1(x + 1) + 1
y = f(x)와 y = f−1(x)는 y = x에 대해 대칭이야.
직선 y = −x + 2k의 기울기는 −1이야. 이건 y = x에 수직이지!
그래서 점 A(f(x) 위)를 y = x에 대해 대칭이동하면 f−1(x) 위의 점 C가 되는데, A와 C는 같은 직선 y = −x + 2k 위에 있어.
AC = AB − BC = 7√2 − √2 = 6√2
이제 AC = 6√2 조건으로 k를 구할 수 있어!
점 A는 직선 y = −x + 2k 와 f(x) = log2(x − k) 의 교점이야.
A(a, −a + 2k)로 놓으면, 점 C는 A를 y = x에 대해 대칭한 점이므로:
두 점 A와 C 사이의 거리를 구해봐.
a − k = 3이므로 a = k + 3
A가 f(x) 위에 있으므로: −a + 2k = log2(a − k)
좌변 = −(k+3) + 2k = k − 3, 우변 = log23
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.
f(x) = log2(x − k)의 역함수: f−1(x) = 2x + k
g(x) = 2x+1 + k + 1 = f−1(x+1) + 1 이므로, g(x)는 f−1(x)를 (−1, +1) 평행이동한 것.
g(x) 위의 점 B는 f−1(x) 위의 점 C를 (−1, +1) 이동한 점이므로:
A, C, B는 모두 직선 y = −x + 2k (기울기 −1) 위에 있으므로:
점 A(a, −a+2k), 점 C는 A를 y = x 대칭이동: C(−a+2k, a)
= √{2(2a−2k)²} = 2(a−k)√2 = 6√2
∴ a − k = 3, 즉 a = k + 3
A가 f(x) 위의 점이므로: −a + 2k = log2(a − k)
k − 3 = log23
k = log23 + 3 = log23 + log28 = log224
🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것
① 역함수 → 평행이동 연결: g(x)가 f−1(x)의 평행이동이면, 그래프 위의 점도 같은 벡터만큼 이동한다.
② 기울기 −1 직선과 y = x: 기울기 −1인 직선은 y = x에 수직. 그래서 A를 y = x 대칭이동한 C도 같은 직선 위에 있다.
③ 거리 분해: AB = AC + CB로 나누어 각각의 의미를 파악하는 전략.
④ 로그 덧셈: log23 + 3 = log23 + log28 = log224. 상수를 로그로 변환!