그림과 같이 1보다 큰 두 실수 a, k에 대하여 곡선 y = ax + k와 직선 y = 3x + 2가 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다.
점 B를 지나고 기울기가 −1인 직선이 곡선 y = loga(x − k)와 만나는 점을 C, 직선 y = 3x + 2가 y축과 만나는 점을 D라 하자.
AB = AD이고 BC = CD일 때, a × k의 값은?
(단, 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표보다 크다.)
y = loga(x − k) (로그함수)가 오른쪽에 위치. D는 y축 위의 점.
제일 쉬운 것부터! 직선 y = 3x + 2 가 y축과 만나는 점 D는?
x = 0 대입하면 D(0, 2).
A, B는 모두 직선 y = 3x + 2 위의 점이야. A의 x좌표를 p라 놓으면:
D(0, 2)에서 A(p, 3p+2)까지의 거리 AD는? 그리고 “A가 DB의 중점”이 되려면 B의 좌표는?
D, A, B는 같은 직선(y = 3x+2) 위에 있고, B가 A보다 오른쪽이야.
AB = AD 이면, A에서 D까지의 거리 = A에서 B까지의 거리. 즉 A는 선분 DB의 중점이야!
y = ax + k에서 y − k = ax, 즉 x = loga(y − k).
x와 y를 바꾸면 y = loga(x − k). 역함수 관계!
두 그래프는 y = x에 대해 대칭이야.
B를 지나고 기울기가 −1인 직선은 y = x에 수직이야. 그래서 B를 y = x 대칭이동한 점이 바로 C가 돼!
삼각형 CBD에서 CB = CD이면 이등변삼각형이므로, 두 직선 BD와 AC가 수직이야.
직선 BD의 기울기는 3 (y = 3x + 2 위)이므로, 직선 AC의 기울기는 −1/3이야.
p를 구했으면 A와 B의 좌표가 확정돼.
A, B 모두 y = ax + k 위의 점이니까 두 연립방정식을 세울 수 있어:
a(B의 x좌표) + k = (B의 y좌표)
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.
D(0, 2), A(p, 3p+2). AB = AD이므로 A는 DB의 중점:
y = ax + k 와 y = loga(x−k)는 y = x 대칭. B를 y = x 대칭이동:
삼각형 CBD에서 CB = CD이므로 이등변삼각형. BD ⊥ AC.
BD의 기울기 = 3이므로 AC의 기울기 = −1/3:
(−p − 2) / (5p + 2) = −1/3
3(p + 2) = 5p + 2
3p + 6 = 5p + 2
p = 2
따라서 A(2, 8), B(4, 14), C(14, 4)
B(4, 14): a⁴ + k = 14 ··· ㉡
㉡ − ㉠: a⁴ − a² = 6
a⁴ − a² − 6 = 0
(a² + 2)(a² − 3) = 0
a > 1이므로 a² = 3, 즉 a = √3
㉠에 대입: 3 + k = 8, k = 5
🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것
① 같은 직선 위 + 등거리 = 중점: AB = AD이고 D, A, B가 일직선 → A는 DB의 중점.
② 역함수 대칭 + 기울기 −1: y = x 대칭인 두 곡선에서, 기울기 −1 직선은 y = x에 수직이므로 대칭점을 직접 잇는다.
③ 이등변삼각형 → 수직: CB = CD이면 꼭짓점에서 밑변에 수선. 기울기의 곱 = −1로 방정식을 세운다.
④ 연립 후 인수분해: a⁴ − a² − 6 = 0은 a²에 대한 이차방정식. 실수 조건으로 해를 선택.