마플시너지 대수 498 | 튜터 힌트

기울기가 −2인 직선이 두 함수 y = 3^x, y = 3^x+2 + 4의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B라 하자.

선분 AB의 중점의 좌표가 (3, a)일 때, 상수 a의 값을 구하시오.

a = ?

💡 힌트 — 하나씩 열어보며 생각해봐!

1 두 그래프의 관계부터 파악하자

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y = 3^x+2 + 4를 y = 3^x의 변환으로 해석해봐.

3^x+2 = 3^x · 3² = 9 · 3^x 이니까… 잠깐, 이건 단순 상수배가 되네?

다른 관점: y = 3^x+2 + 4는 y = 3^x를 어떻게 평행이동한 것일까?

🤔 y = 3^x를 x축 방향으로 □만큼, y축 방향으로 □만큼 이동하면 y = 3^x+2 + 4가 돼. 빈칸을 채워봐!

2 점 A를 평행이동하면 점 B가 된다!

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핵심 아이디어야. y = 3^x+2 + 4는 y = 3^x를 x축 방향으로 −2, y축 방향으로 +4 평행이동한 거야.

그래프를 통째로 옮긴 거니까, 그래프 위의 점도 같이 옮겨져.

그림 — A(p, q)를 평행이동하면 B(p−2, q+4)

점 A(p, q)가 y = 3^x 위에 있으면, 이 점을 같은 방식으로 평행이동한 점은 y = 3^x+2 + 4 위에 있어.

🤔 그런데 A와 B가 같은 직선(기울기 −2) 위에 있어야 해. A(p, q)를 (−2, +4)만큼 이동한 B(p−2, q+4)와 A를 잇는 직선의 기울기가 −2인지 확인해봐!

3 기울기 확인 — 이건 자동으로 성립!

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A(p, q) → B(p−2, q+4)이면

기울기 = (q+4 − q) / (p−2 − p) = 4 / (−2) = −2 ✓

어떤 점 A를 잡든 기울기는 항상 −2가 돼! 즉, 점 A의 위치에 관계없이 조건이 자동으로 만족되는 거야.

🤔 그러면 남은 조건은 뭐지? 중점이 (3, a)라는 것만 쓰면 돼. A(p, q)와 B(p−2, q+4)의 중점 공식을 세워서 p와 q를 구해봐!

4 마무리: 3^p = q 를 잊지 마!

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중점 조건에서 p값을 구했으면, A(p, q)가 y = 3^x 위의 점이라는 걸 써.

즉 q = 3^p에 p를 대입하면 q가 나오고, 그걸로 a도 구할 수 있어.

🤔 중점의 y좌표가 q + 2 = a라는 식이 나올 거야. q를 구한 뒤 a를 계산해봐!

✏️

여기까지 힌트면 충분해!

평행이동 → 중점 공식 → 지수함수 대입, 이 흐름으로 계산해봐.
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.

📝 풀이 확인

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먼저 힌트를 보고 직접 풀어본 다음에 확인하세요!

A 점 A의 좌표와 평행이동으로 점 B 구하기

y = 3^x+2 + 4는 y = 3^x를 x축 방향 −2, y축 방향 +4 평행이동한 것이다.

A(p, q)가 y = 3^x 위의 점이면 3^p = q ··· ㉠

A를 같은 방향으로 평행이동한 점이 B이므로:

B(p - 2, q + 4)

직선 AB의 기울기 = (q+4−q)/(p−2−p) = 4/(−2) = −2 ✓ (자동 성립)

B 중점 조건으로 a 구하기

A(p, q)와 B(p−2, q+4)의 중점:

중점 = ((2p-2)/2, (2q+4)/2) = (p-1, q+2)

이것이 (3, a)이므로:

p - 1 = 3 \to p = 4 q + 2 = a

㉠에서 q = 3^p = 3⁴ = 81이므로:

a = 81 + 2 = 83

💡 정답은 83이야. 네가 구한 답과 같은지 확인해봐!

🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것

① 평행이동의 핵심: y = f(x)를 (m, n)만큼 이동하면 y = f(x−m) + n. 그래프 위의 모든 점이 (m, n)만큼 이동한다.
② 기울기 자동 성립: 평행이동 벡터가 (−2, 4)이면 두 대응점을 잇는 기울기는 항상 4/(−2) = −2. 이건 A의 위치와 무관!
③ 전략: 평행이동 관계를 파악하면 미지수를 줄일 수 있다. A의 좌표만 구하면 B는 자동.

🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것

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