함수
f(x) = ⎨
⎩ (1/4)x+a − (1/4)3+a + 8 (x ≥ 3)
에 대하여 곡선 y = f(x) 위의 점 중에서 y좌표가 정수인 점의 개수가 23일 때, 정수 a의 값은?
x < 3일 때 f(x) = 2x야. 이건 익숙한 지수함수지?
x = 3에서의 값: 23 = 8. 하지만 x < 3이니까 8은 포함 안 돼.
그래프가 x축 가까이(y → 0)에서 시작해서 8에 가까이 올라가는 모양이야.
y = 2x는 순증가하는 함수야. 점근선은 y = 0 (x → −∞).
따라서 0 < y < 8 범위에서 각 정수값 y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7에 대해 x값이 정확히 하나씩 존재해.
그런데! y = 8인 점은 x = 3이 필요한데 x < 3이므로 없어.
h(x) = (1/4)x+a − (1/4)3+a + 8 이라 하자.
(1/4)x+a는 밑이 1/4 (< 1)이니까 x가 커질수록 감소해서 0에 가까워져.
그래서 h(x)는 x가 커질수록 −(1/4)3+a + 8에 가까워져. 이게 바로 점근선이야!
그리고 h(3) = (1/4)3+a − (1/4)3+a + 8 = 8. x = 3에서 값이 8이야!
h(x)는 8에서 시작해서 점근선까지 감소해. x = 3에서 h(3) = 8이므로 y = 8인 점은 1개.
h(x)는 순감소이므로, 정수값 y = 7, 6, 5, … 에 대해 각각 정확히 1개의 x가 있어.
그런데 y = 0 이하의 정수에서도 교점이 계속 생겨. 점근선 바로 위까지!
y ≤ 0인 정수도 8개가 필요해 (합계 16개).
y = 0, −1, −2, −3, −4, −5, −6, −7 까지 8개가 되려면 점근선이 어디에 있어야 할까?
점근선 y = −(1/4)3+a + 8이 −8 이상 −7 미만이어야 y ≤ 0인 정수 y의 개수가 딱 8개야.
(점근선이 −7이면 y = −7도 닿을 수 없어서 7개, −8이면 y = −7까지 닿아서 8개)
15 < (1/4)3+a ≤ 16
41 < 4−3−a ≤ 42 이면 1 < −3−a ≤ 2. a의 범위가 나오고, 정수 a를 찾으면 끝!
막히면 힌트를 다시 읽어보고, 그래도 안 되면 아래 풀이를 확인하자.
x < 3: f(x) = 2x, 0 < y < 8 범위에서 순증가
→ y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 각 1개씩 = 7개
x ≥ 3: h(x) = (1/4)x+a − (1/4)3+a + 8
h(3) = 8, 점근선 y = −(1/4)3+a + 8 쪽으로 감소
→ 23 − 7 = 16개 필요
y > 0: y = 8, 7, 6, …, 1 → 8개
y ≤ 0: 8개 필요 → y = 0, −1, −2, …, −7
y ≤ 0에서 정수 y가 8개 → 점근선이 −8 이상 −7 미만:
15 < (1/4)3+a ≤ 16
(1/4)3+a = 4−3−a 이므로
4¹ < 4−3−a ≤ 4²
1 < −3 − a ≤ 2
−5 ≤ a < −4
a는 정수이므로:
🔑 이 문제에서 꼭 기억할 것
① 분할함수 → 영역별로 분석: x < 3과 x ≥ 3을 나눠서 각각의 그래프 특성을 파악한다.
② 점근선이 정수 개수를 결정: 감소하는 지수함수에서 점근선의 위치가 정수 y값의 개수를 좌우한다.
③ (1/4)n = 4−n: 밑이 1보다 작은 지수를 밑이 1보다 큰 지수로 바꾸면 부등식 처리가 편하다.
④ 경계값 주의: 점근선에 “도달하지 않으므로” 부등호의 등호/비등호를 정확히 구분해야 한다.